Transcurría el verano de 1987 cuando un grupo de jóvenes amigos, la mayoría vecinos del pontevedrés barrio de la Alameda y hasta entonces muchos de ellos ajenos a la fiesta taurina, deciden constituir una peña para acudir juntos a los tradicionales festejos taurinos que cada año, en el mes de agosto, se celebran en la plaza de toros de Pontevedra con motivo de las tradicionales Fiestas pontevedresas en honor a la virgen de la Peregrina.
Ese año, este grupo de amigos se constituyen bajo el nombre de “peña Levi´s”. Aquella peña fue el embrión de donde más tarde nacería la actual Peña Finoca, y en aquella primera ocasión acudió al coso de San Roque con unas camisetas blancas y pañuelos rojos, al más puro estilo de las fiestas taurinas de San Fermín en Pamplona, situándose en los bajos del tendido 3 del coso de San Roque, lugar de ubicación de la peña que se ha mantenido todos los años hasta la actualidad.
A año siguiente es entonces cuando surge la Peña Finoca, cuyo nombre se debe a su mascota, -una pequeña foquita sonriente con mirada traviesa y picarona que lleva anudado un pañuelo en su cuello-, y que continúa siendo el símbolo de identidad de esta peña.
Es en el año 1995 cuando se decide legalizar la peña de acuerdo con la legislación vigente en materia de asociaciones. De esta forma se redactan por primera vez los estatutos y se nombra una junta directiva, conformándose de esta forma como asociación sin ánimo de lucro con su inscripción en el correspondiente registro de asociaciones.
En los años siguientes la peña extiende sus actividades a lo largo de todo el año, no limitándose de forma exclusiva al período estival de fiestas de la Peregrina También dentro del ámbito social, es importante señalar que desde el año 1990 de forma ininterrumpida la peña dona una cesta de Navidad al comedor de pobres de San Francisco.